違い・使い分け
flauntは「見せびらかすこと」、floutは「（ルールなどを）あからさまに無視・侮辱すること」です。
動詞
見せびらかす、誇示する
She likes to flaunt her expensive jewelry at parties.
彼女はパーティーで高価な宝石を見せびらかすのが好きだ。
自分の持ち物や能力を、他人の注目を集めるために堂々と誇示する様子です。自慢げなポジティブまたはニュートラルな文脈で使われます。
動詞
（規則・法律などを）公然と無視する、馬鹿にする
The company continued to flout safety regulations despite repeated warnings.
その会社は繰り返し警告を受けたにもかかわらず、安全規制を公然と無視し続けた。
法律、慣習、権威などを軽蔑して、わざと従わないというネガティブな態度を表します。反抗や侮辱の意図が含まれます。
flauntは「持っているもの（富や才能など）を見せつける」ことに対し、floutは「守るべきもの（ルールや社会規範）をあえて破る」ことを指します。音や綴りは似ていますが、flauntは自己顕示欲に関連し、floutは反抗心に関連するという決定的な違いがあります。
flauntの「u」は「proud（誇り高い）」のuと関連付けて「自慢する」、floutの「o」は「no（従わない）」のoと関連付けて「ルールを無視する」と覚えると混同を防げます。