違い・使い分け
elicitは「引き出す」という動詞、illicitは「違法の」という形容詞です。
動詞
（情報や反応を）引き出す
The teacher tried to elicit a response from the shy student.
その教師は内気な生徒から答えを引き出そうとした。
相手から何かを巧みに導き出したり、反応を呼び起こしたりする際に使います。
形容詞
違法の、禁じられた
He was arrested for his illicit activities involving smuggled goods.
彼は密輸品に関わる違法行為で逮捕された。
法律や社会的な規範に反している、非合法であるという意味で使います。
elicitは「相手に働きかけて何かを引き出す」という動作を表す動詞ですが、illicitは「法律で認められていない」という状態を表す形容詞です。スペルが似ていますが、elicitのeは「外へ(ex)」を意識して「中から外へ引き出す」と捉え、illicitのiは「否定(in/not)」を意識して「法的に許されない」と覚えると混同を防げます。品詞が根本的に異なるため、文中で動詞として使うか形容詞として使うかで判断できます。
elicitは「E = Ex（外へ）引き出す」、illicitは「I(違)法」と、最初の文字で役割を関連付けると覚えやすくなります。